8.4 胡克定律与实验

来源： 考纲 §8 · 课堂笔记 §4.4.3

定律

胡克力 ${\overrightarrow{F}}_H$（弹簧力、回复力）出现在弹性体中，与形变方向相反。长度变化 $\mathrm{\Delta }x$ 与造成它的力成正比。

$${\overrightarrow{F}}_H=-k\cdot \mathrm{\Delta }\overrightarrow{x}(\text{大小：}{F}_H=k\cdot \mathrm{\Delta }x)$$

符号	含义	单位
${\overrightarrow{F}}_H$	胡克力 / 弹簧力	N
$k$	弹簧常数	N/m
$\mathrm{\Delta }x$	长度变化（伸长量）	m

弹簧常数 $k$ 衡量软硬：$k$ 大 = 硬弹簧，$k$ 小 = 软弹簧。负号表示 ${\overrightarrow{F}}_H$ 总与形变方向相反（弹簧「想」回到平衡位置）。定律仅在弹性范围内成立——$\mathrm{\Delta }x$ 过大时弹簧会发生永久（塑性）形变。在 $F$-$\mathrm{\Delta }x$ 图中是一条过原点、斜率为 $k$ 的直线。

实验：测定弹簧常数

把弹簧竖直悬挂；依次挂上已知质量并测量长度变化 $\mathrm{\Delta }x$。在受力平衡时重力与胡克力相等：

$$F_H=F_G\Rightarrow k\cdot \mathrm{\Delta }x=m\cdot g\Rightarrow k=\frac{m\cdot g}{\mathrm{\Delta }x}$$

图：实验装置——(1) 未挂砝码的弹簧；(2) 挂上砝码后，重力 $F_G=mg$ 把它拉长 $\mathrm{\Delta }x$；平衡时 $F_H=F_G$。

算例： $m=250$ g $=0,25$ kg，$\mathrm{\Delta }x=1$ cm $=0,01$ m，$g=9,81$ m/s²：

$$k=\frac{0,25\cdot 9,81}{0,01}=245,25\text{ N/m}$$

图：两根弹簧的 $F_H$-$\mathrm{\Delta }x$ 图——都过原点；红色 $k_1$ 比绿色 $k_2$ 陡（$k_1>k_2$），即更硬。

弹性势能

把弹簧拉伸 $x$ 所做的功（= 储存的能量），即 $F$-$x$ 直线下的三角形面积：

$$W_H=\frac{1}{2}\cdot k\cdot x^2$$